Đặt $z=x+yi \left(x,y\in ℝ\right)$ ta có

$\left|z-1\right|=\sqrt{2}\iff \left|x-1+yi\right|=\sqrt{2}\iff \sqrt{{\left(x-1\right)}^2+y^2}=\sqrt{2}$

$\iff {\left(x-1\right)}^2+y^2=2\iff x^2+y^2=2x+1$ (*).

Lại có

$$\begin{gathered} T=\left|z+i\right|+\left|z-2-i\right|=\left|x+\left(y+1\right)i\right|+\left|x-2+\left(y-1\right)i\right| \\ =\sqrt{x^2+y^2+2y+1}+\sqrt{x^2+y^2-4x-2y+5} \end{gathered}$$

Kết hợp với (*) ta được

$T=\sqrt{2x+2y+2}+\sqrt{6-2x-2y}=\sqrt{2\left(x+y\right)+2}+\sqrt{6-2\left(x+y\right)}$

Đặt T = x + y, khi đó $T=f\left(t\right)=\sqrt{2t+2}+\sqrt{6-2t}$ với $t\in \left[-1;3\right]$

Cách 1:  Sử dụng phương pháp hàm số

Ta có $f\text{'}\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{2t+2}}-\frac{1}{\sqrt{6-2t}};f^{\text{'}}\left(t\right)=0\iff t=1$

Mà $f\left(1\right)=4,f\left(-1\right)=2\sqrt{2},f\left(3\right)=2\sqrt{2}$. Vậy $\max f\left(t\right)=f\left(1\right)=4$

Cách 2: Sử dụng phương pháp đại số

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có

$T=\sqrt{2t+2}+\sqrt{6-2t}\le \sqrt{\left(1+1\right).8}=4$

Đẳng thức xảy ra khi t = 1