Ta có $2\left({\left|z_1\right|}^2+{\left|z_2\right|}^2\right)={\left|z_1+z_2\right|}^2+{\left|z_1-z_2\right|}^2=5^2+3^2+4^2=50$

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có

$\left|z_1\right|+\left|z_2\right|\le \sqrt{2\left({\left|z_1\right|}^2+{\left|z_2\right|}^2\right)}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$

Gọi $z_1=x+yi, z_2=a+bi; a, b, x, y\in ℝ$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}{z}_1-z_2=3+4i\\ \left|z_1+z_2\right|=5\\ {\left|z_1\right|}^2+{\left|z_2\right|}^2=25\\ \left|z_1\right|=\left|z_2\right|\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=\frac{7}{2}\\ y=\frac{1}{2}\end{array}\right.$ và $\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ b=-\frac{7}{2}\end{array}\right.$. Hay $z_1=\frac{7}{2}+\frac{1}{2}i; z_2=\frac{1}{2}-\frac{7}{2}i$

Thay $z_1,z_2$ vào giả thiết thỏa mãn.

Vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức $\left|z_1\right|+\left|z_2\right|$ bằng $5\sqrt{2}$