Cho số phức z thỏa mãn điều kiện trị tuyệt đối z - 3 + 4i = 4. Gọi M  và m  là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của môđun số phức z . Giá trị của M.m bằng

A. 9

B. 10

C. 11

D. 12

Trả lời

Chọn A

Ta có $\left|z\right|=\left|\left(z-3+4i\right)+\left(3-4i\right)\right|\le \left|z-3+4i\right|+\left|3-4i\right|=4+5=9=M$

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}z-3+4i=k\left(3-4i\right),\left(k>0\right)\\ \left|z-3+4i\right|=4\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}k=\frac{4}{5}\\ z=\frac{27}{5}-\frac{36}{5}i\end{array}\right.$

Mặt khác $\left|z\right|=\left|\left(z-3+4i\right)+\left(3-4i\right)\right|\ge \left|\left|z-3+4i\right|-\left|3-4i\right|\right|=\left|4-5\right|=1=m$

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}z-3+4i=k\left(3-4i\right),\left(k<0\right)\\ \left|z-3+4i\right|=4\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}k=-\frac{4}{5}\\ z=\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i\end{array}\right.$