Gọi $z=x+yi\left(x,y\in ℝ\right); M\left(x;y\right)$ là điểm biểu diễn số phức z

Ta có $\left|z+i\right|=\left|\overline{z}+2+i\right|\iff \left|x+\left(y+1\right)i\right|=\left|x+2-\left(y-1\right)i\right|$

$\iff x^2+{\left(y+1\right)}^2={\left(x+2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2\iff x-y+1=0 \left(\Delta \right)$

Ta có $P=\left|\left(i-1\right)z+4-2i\right|=\left|\left(i-1\right)\right|\left|z+\frac{4-2i}{\left(i-1\right)}\right|=\sqrt{2}\left|z-3-i\right|$

$=\sqrt{2}\sqrt{{\left(x-3\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2}=\sqrt{2}MA$, với $A=\left(3;1\right)$

$\Rightarrow P_{\min }=\sqrt{2}M{A}_{\min }=\sqrt{2}d\left(A,\Delta \right)=\sqrt{2}\frac{\left|3-1+1\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=3$

Đẳng thức xảy ra khi M  là hình chiếu vuông góc của A  trên đường thẳng $\Delta$ hay $M\left(\frac{3}{2};\frac{5}{2}\right)\Rightarrow z=\frac{3}{2}+\frac{5}{2}i$