Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có AB=4, SA=SB=SC=12 . Gọi MN lần lượt là trung điểm AC. BC 

Trả lời

* Gọi H  là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) . Ta có: $SA=SB=SC=12\Rightarrow HA=HB=HC$

  $\Rightarrow H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  mà tam giác  ABC cân tại B

   $\Rightarrow H$là trung điểm AC .

$\Rightarrow H\equiv M$.

* $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}BA.BC=\frac{1}{2}\mathrm{.4.4}=8$

Tam giác ABC  vuông cân tại   B

$\Rightarrow AC=4\sqrt{2}\Rightarrow HC=2\sqrt{2}$

$SH=\sqrt{S{C}^2-H{C}^2}=\sqrt{{12}^2-{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}=2\sqrt{34}$

Do đó:  $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.S_{\Delta ABC}.SH=\frac{1}{3}\mathrm{.8.2}\sqrt{34}=\frac{16\sqrt{34}}{3}$.

Trong mp $\left(SAB\right)$, kẻ $EK//AB\left(K\in SB\right)$ . Ta có: 

*  $\frac{S_{\Delta EMN}}{S_{\Delta EKN}}=\frac{MN}{EK}=\frac{\frac{1}{2}AB}{\frac{2}{3}AB}=\frac{3}{4}\Rightarrow S_{\Delta EMN}=\frac{3}{4}{S}_{\Delta EKN}$$\Rightarrow V_{F.MNE}=\frac{3}{4}{V}_{F.EKN}$      

*$V_{F.EKN}=\frac{1}{2}{V}_{S.EKN}=\frac{1}{2}\left(\frac{SE}{SA}.\frac{SK}{SB}.V_{S.ABN}\right)$

                           

                            $=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\frac{2}{3}.V_{S.ABN}=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\frac{2}{3}.\frac{1}{2}.V_{S.ABC}$$=\frac{1}{9}.\frac{16\sqrt{34}}{3}=\frac{16\sqrt{34}}{27}$ .

* $V_{MN\text{EF}}=V_{F.MNE}=\frac{3}{4}{V}_{F.EKN}=\frac{3}{4}.\frac{16\sqrt{34}}{27}=\frac{4\sqrt{34}}{9}$ .

Kết luận: $V_{MN\text{EF}}=\frac{4\sqrt{34}}{9}$ .