Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M Chứng minh: DE = CF; DE vuông góc CF

Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M thuộc đường chéo BD. Kẻ ME vuông góc với AB tại E, MF vuông góc với AD tại F.

Chứng minh: DE = CF; DE CF.

Trả lời
Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M Chứng minh: DE = CF; DE vuông góc CF (ảnh 1)

Gọi H là giao điểm của DE và CF, K là giao điểm của CM và EF.

Do ABCD là hình vuông nên ta có: ^DAB=90,CD=DA,^ADB=^ABD=^DBC=45

Do MF AD nên tam giác FDM vuông tại F.

Do FM AD, DC AD nên FM // CD, suy ra ^FMD=^MDC (hai góc so le trong)

^FDM=^MDC (do ABCD là hình vuông nên DM là phân giác góc ADC)

Suy ra ^FDM=^FMD, nên ∆FDM cân tại F

Do đó FM = FD.

Do ME AB nên ^MEA=90

Tứ giác AEMF có ^MFA=^FAE=^AEM=90 nên AEMF là hình chữ nhật.

Suy ra AE = FM.

Do đó AE = FD (vì cùng bằng FM).

Xét ∆ADE vuông tại A và ∆DCF vuông tại D có:

AE = DF, AD = DC (chứng minh trên)

Do đó ∆ADE = ∆DCF (hai cạnh góc vuông)

Suy ra DE = CF (hai cạnh tương ứng) và ^AED=^DFC (hai góc tương ứng)

Xét tam giác ADE vuông tại A, ta có: ^AED+^ADE=90.

Suy ra ^DFC+^ADE=90 hay ^DFH+^FDH=90.

Xét ∆DHF có ^DFH+^FDH+^DHF=180

Suy ra ^DHF=180(^DFH+^FDH)=18090=90.

Vậy DE CF.

Câu hỏi cùng chủ đề

Xem tất cả