Cho hình trụ có chiều cao bằng $a\sqrt{2}$. Trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ lấy hai điểm A, B; trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ lấy hai điểm C, D sao cho ABCD là hình vuông và mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy của hình trụ góc 45^o. Thể tích khối trụ đã cho bằng:

Chọn A

Giả sử tâm của đáy thứ nhất và đáy thứ hai của hình trụ lần lượt là O và O'.

Gọi H là hình chiếu của A trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ.

Ta có: $CD\perp AD,AH\Rightarrow CD\perp DH$, tức là CH là đường kính đáy thứ hai của hình trụ.

$CD\perp \left(ADH\right); \left(ADH\right)\cap \left(ABCD\right)=AD; \left(ADH\right)\cap \left(CDH\right)=DH$

$\Rightarrow \left(\widehat{\left(ABCD\right),\left(CDH\right)}\right)=\widehat{ADH}={45}^o$

$\Rightarrow \Delta ADH$ vuông cân tại H có $AH=DH=O{O}^{\text{'}}=a\sqrt{2}$,$AD=AH\sqrt{2}=O{O}^{\text{'}}\sqrt{2}=2a$=> CD = 2a$\Rightarrow CH=\sqrt{{\left(CD\right)}^2+{\left(DH\right)}^2}=a\sqrt{6}$.

Vậy thể tích khối trụ bằng: $\pi {\left(\frac{CH}{2}\right)}^2.O{O}^{\text{'}}=\frac{3\pi a^3\sqrt{2}}{2}$