Chọn A

Gọi H là hình chiếu của S trên $\left(ABC\right)\Rightarrow SH\perp \left(ABC\right)$. Kẻ $HE\perp AB,E\in AB$ và $HF\perp AC,F\in AC$.

Ta có $\left\{\begin{array}{c}AB=\left(SAB\right)\cap \left(ABC\right)\\ SH\perp AB\\ HE\perp AB\\ \Rightarrow SE\perp AB\end{array}\right.\Rightarrow \left(\left(SAB\right),\left(ABC\right)\right)=\left(EH,ES\right)=\widehat{HES}=45°\left(\widehat{SHE}=90°\right)$

$\Rightarrow \Delta SHE$ vuông cân $\Rightarrow EH=SH$.

Ta có $\left\{\begin{array}{c}AC=\left(SAC\right)\cap \left(ABC\right)\\ SH\perp AC\\ HF\perp AC\\ \Rightarrow SF\perp AC\end{array}\right.\Rightarrow \left(\left(SAC\right),\left(ABC\right)\right)=\left(SF,FS\right)=\widehat{HFS}=60°\left(\widehat{SHF}=90°\right)$

$\Delta SHF$ vuông nên $HF=\frac{HS}{\tan \widehat{SHF}}=\frac{HS}{\tan 60°}=\frac{HS}{\sqrt{3}}$.

Mà tứ giác HEAF là hình chữ nhật $AH=E{F}^2=\sqrt{H{E}^2+H{F}^2}=\frac{2SH\sqrt{3}}{3}$.

Ta có tam giác SHA vuông tại H $S{A}^2=S{H}^2+H{A}^2=\frac{7}{3}S{H}^2\Rightarrow SH=\frac{\sqrt{21}}{7}SA=\frac{\sqrt{21}}{7}$.

Vậy $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SH.S_{ABC}=\frac{1}{6}SH.AB.AC=\frac{1}{6}\frac{\sqrt{21}}{7}\sqrt{3}\sqrt{7}=\frac{1}{2}$.