Cho hình thang ABCD (AB // CD). Biết rằng AD cắt BC tại E, AC cắt BD tại F.

a) Chứng minh rằng: ∆EAB ᔕ ∆EDC, ∆FAB ᔕ ∆FCD.

b) Lấy hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, E, F thẳng hàng.

Lời giải

a)

Vì AB song song với đáy CD của tam giác EDC nên ∆EAB ᔕ ∆EDC.

Vì AB song song với đáy CD của tam giác FCD nên ∆FAB ᔕ ∆FCD.

b)

Vì ∆EAB ᔕ ∆EDC (cmt) nên \(\frac{{EA}}{{ED}} = \frac{{AB}}{{DC}} = \frac{{2AM}}{{2DN}} = \frac{{AM}}{{DN}}\) (do M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD).

Tam giác EAM và tam giác EDN có:

\(\frac{{EA}}{{ED}} = \frac{{AM}}{{DN}}\) (cmt)

\(\widehat {EAM} = \widehat {EDN}\) (AM song song với DN, hai góc đồng vị)

Do đó, ∆EAM ᔕ ∆EDN (c.g.c).

Suy ra \(\widehat {AEM} = \widehat {DEN}\).

Do đó, tia EM trùng với tia EN hay 3 điểm M, E, N thẳng hàng (1).

Vì ∆FAB ᔕ ∆FCD nên \(\frac{{FA}}{{FC}} = \frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{AM}}{{CN}}\).

Hai tam giác FAM và tam giác FCN có:

\(\frac{{FA}}{{FC}} = \frac{{AM}}{{CN}}\) (cmt)

\(\widehat {FAM} = \widehat {FCN}\) (AM song song với CN, hai góc so le trong)

Do đó, ∆FAM ᔕ ∆FCN (c.g.c).

Nên \(\widehat {AFM} = \widehat {CFN}\)

Do đó, tia FM và tia FN là hai tia đối nhau.

Suy ra, F, M, N thẳng hàng (2).

Từ (1) và (2) ta có: 4 điểm M, E, F, N thẳng hàng.