Cho hai điểm M, N lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC của tam giác ABC sao cho $\widehat {ABN} = \widehat {ACM}$. Gọi O là giao điểm của BN và CM. Chứng minh rằng:

a) AM . AB = AN . AC.

b) OM . OC = ON . OB.

Lời giải

a)

Xét tam giác ABN và tam giác ACM có:

$\widehat A$ chung

$\widehat {ABN} = \widehat {ACM}$ (gt)

Do đó, ∆ABN ᔕ ∆ACM (g.g).

Suy ra $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AM}}$ nên AM . AB = AN . AC.

b)

Tam giác BOM và tam giác CON có:

$\widehat {MBO} = \widehat {NCO}$ (do $\widehat {ABN} = \widehat {ACM}$)

$\widehat {MOB} = \widehat {NOC}$ (hai góc đối đỉnh)

Nên ∆BOM ᔕ ∆CON (g.g).

Suy ra $\frac{{OM}}{{ON}} = \frac{{OB}}{{OC}}$ nên OM . OC = ON . OB.