Cho hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D'. Biết A'.ABCD là hình chóp đều có tất cả các cạnh đều bằng

Bài 7.43 trang 65 Toán 1 Tập 2: Cho hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D'. Biết A'.ABCD là hình chóp đều có tất cả các cạnh đều bằng nhau và bằng a. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D' và thể tích của khối chóp A'.BB'C'C.

Trả lời

a) Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Do A'.ABCD là hình chóp đều có tất cả các cạnh đều bằng nhau và bằng a nên A'O $\perp$ (ABCD).

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên S_ABCD = a².

Xét tam giác ABC vuông tại B, có AC = $\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$ mà O là trung điểm của AC nên AO = $\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

Xét tam giác A'AO vuông tại O, có A'O = $\sqrt{A^{\text{'}}{A}^2-A{O}^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

Khi đó $V_{ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=A^{\text{'}}O\cdot S_{ABCD}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot a^2=\frac{a^3\sqrt{2}}{2}$ .

Ta có $V_{ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=V_{A{A}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}D.B{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}C}=\frac{a^3\sqrt{2}}{2}$ .

Khi đó ta thấy khối chóp A'.BB'C'C và khối lăng trụ AA'D'D.BB'C'C có chung đường cao và đáy nên $V_{A^{\text{'}}.B{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}C}=\frac{1}{3}\cdot V_{A{A}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}D.B{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}C}=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^3\sqrt{2}}{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$ .

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: