Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Biết tam giác SAD vuông cân tại S
1.5k
07/12/2023
Bài 7.41 trang 65 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Biết tam giác SAD vuông cân tại S và (SAD) ⊥ (ABCD).
a) Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.
Trả lời

a) Kẻ SE ⊥ AD tại E. Vì tam giác SAD vuông cân tại S nên E là trung điểm của AD.
Có (SAD) ⊥ (ABCD), (SAD) ∩ (ABCD) = AD, SE ⊥ AD nên SE ⊥ (ABCD).
Vì tam giác SAD vuông cân tại S, SE là trung tuyến nên SE = AD2=a2.
Khi đó VS.ABCD=13SABCD⋅SE=13⋅a2⋅a2=a36 .
b) Do ABCD là hình vuông nên AD // BC mà BC ⊂(SBC) nên AD // (SBC).
Khi đó d(AD, SC) = d(AD, (SBC)) = d(E, (SBC)).
Kẻ EF // AB (F thuộc BC). Khi đó EF ⊥ BC (vì AB ⊥ BC).
Mà SE ⊥ (ABCD) nên SE ⊥ BC mà EF ⊥ BC nên BC ⊥ (SEF).
Lại có BC ⊂ (SBC) nên (SBC) ⊥ (SEF) và (SBC) ∩ (SEF) = SF.
Kẻ EG ⊥ SF tại G nên EG ⊥ (SBC). Khi đó d(E, (SBC)) = EG.
Do ABCD là hình vuông nên EF = AB = a.
Xét tam giác SEF vuông tại E, EG là đường cao, có
1EG2=1SE2+1EF2=4a2+1a2=5a2⇒EG = a√5.
Vậy d(AD, SC) = a√5.
Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: