Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Biết tam giác SAD vuông cân tại S

Bài 7.41 trang 65 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Biết tam giác SAD vuông cân tại S và (SAD) $\perp$ (ABCD).

a) Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.

Trả lời

a) Kẻ SE $\perp$ AD tại E. Vì tam giác SAD vuông cân tại S nên E là trung điểm của AD.

Có (SAD) $\perp$ (ABCD), (SAD) $\cap$ (ABCD) = AD, SE $\perp$ AD nên SE $\perp$ (ABCD).

Vì tam giác SAD vuông cân tại S, SE là trung tuyến nên SE = $\frac{AD}{2}=\frac{a}{2}$.

Khi đó $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SE$$=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot \frac{a}{2}=\frac{a^3}{6}$ .

b) Do ABCD là hình vuông nên AD // BC mà BC $\subset$(SBC) nên AD // (SBC).

Khi đó d(AD, SC) = d(AD, (SBC)) = d(E, (SBC)).

Kẻ EF // AB (F thuộc BC). Khi đó EF $\perp$ BC (vì AB $\perp$ BC).

Mà SE $\perp$ (ABCD) nên SE $\perp$ BC mà EF $\perp$ BC nên BC $\perp$ (SEF).

Lại có BC $\subset$ (SBC) nên (SBC) $\perp$ (SEF) và (SBC) $\cap$ (SEF) = SF.

Kẻ EG $\perp$ SF tại G nên EG $\perp$ (SBC). Khi đó d(E, (SBC)) = EG.

Do ABCD là hình vuông nên EF = AB = a.

Xét tam giác SEF vuông tại E, EG là đường cao, có

$\frac{1}{E{G}^2}=\frac{1}{S{E}^2}+\frac{1}{E{F}^2}$$=\frac{4}{a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{5}{a^2}$$\Rightarrow$EG = $\frac{a}{\sqrt{5}}$.

Vậy d(AD, SC) = $\frac{a}{\sqrt{5}}$.

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: