Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có độ dài tất cả các cạnh bằng a, AA' vuông góc (ABCD) và góc BAD= 60 độ

Bài 7.42 trang 65 Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có độ dài tất cả các cạnh bằng a, AA' $\perp$ (ABCD) và $\widehat{BAD}$ = 60^o.

a) Tính thể tích của khối hộp ABCD.A'B'C'D'.

b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BD).

Trả lời

a) Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Vì hình hộp ABCD.A'B'C'D' có độ dài tất cả các cạnh bằng a nên ABCD là hình thoi, suy ra AO = OC và AC $\perp$ BD.

Có S_ABD = $\frac{1}{2}$.AO.BD = $\frac{1}{2}$.CO.BD = S_BCD. Do đó S_ABCD = 2S_ABD.

Mà S_ABD = $\frac{1}{2}$.AB.AD.sin$\widehat{BAD}$ = $\frac{1}{2}$.a.a.sin60^o = $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ . Do đó S_ABCD = $\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.

Vậy $V_{ABCD.A^{\text{'}}B\text{'}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=A{A}^{\text{'}}\cdot S_{ABCD}$$=a\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{2}=\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$ .

b) Vì AO $\perp$ BD mà AA' $\perp$ (ABCD) nên AA' $\perp$ BD. Do đó BD $\perp$ (AOA').

Suy ra (A'BD) $\perp$ (AOA').

Kẻ AE $\perp$ A'O tại E. Vì (A'BD) $\perp$ (AOA'), (A'BD) $\cap$ (AOA') = A'O và AE $\perp$ A'O nên AE $\perp$ (A'BD). Do đó d(A, (A'BD)) = AE.

Xét tam giác ABD có AB = AD = a nên tam giác ABD là tam giác cân tại A mà $\widehat{BAD}={60}^o$ nên tam giác ABD đều, suy ra BD = a mà BO = $\frac{BD}{2}=\frac{a}{2}$ .

Xét tam giác AOB vuông tại O, có AO = $\sqrt{A{B}^2-B{O}^2}$= $\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Vì AA' $\perp$ (ABCD) nên AA' $\perp$ AO hay tam giác A'AO vuông tại A.

Xét tam giác A'AO vuông tại A có $\frac{1}{A{E}^2}=\frac{1}{A{A^{\text{'}}}^2}+\frac{1}{A{O}^2}$$=\frac{1}{a^2}+\frac{4}{3a^2}=\frac{7}{3a^2}$

$\Rightarrow AE=a\sqrt{\frac{3}{7}}$.

Vậy d(A, (A'BD)) = $a\sqrt{\frac{3}{7}}$ .

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: