Cho hình hộp chữ nhật có đường chéo $d=\sqrt{21}.$  Độ dài ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân có công bội $q=2.$  Thể tích của khối hộp chữ nhật là

A.  $V=8.$

Xét hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$  có độ dài kích thước ba cạnh lần lượt là $A{A}^{\text{'}}=a,AB=b,AD=c$  và có đường chéo $A{C}^{\text{'}}.$

Theo bài ra, ta có $a,b,c$  lập thành cấp số nhân có công bội $q=2$ . Suy ra $\left\{\begin{array}{l}b=2a\\ c=4a\end{array}\right..$

Mặt khác, độ dài đường chéo $A{C}^{\text{'}}=\sqrt{21}\Rightarrow A{A^{\text{'}}}^2+A{B}^2+A{D}^2=21\iff a^2+b^2+c^2=21.$

Ta có hệ $\left\{\begin{array}{l}c=2b=4a\\ a^2+b^2+c^2=21\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}c=2b=4a\\ a^2+{\left(2a\right)}^2+{\left(4a\right)}^2=21\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}c=2b=4a\\ 21a^2=21\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=2\\ c=4\end{array}\right..$

Vậy thể tích khối hộp chữ nhật $V_{ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=A{A}^{\text{'}}.AB.AD=abc=8.$  Chọn A.