Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng $a\sqrt 3$, góc $ASB = {60^0}$. Tính thể tích của khối nón đỉnh S có đáy là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.

D. $\frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{2}$

Đáp án B

Phương pháp: ${V_{n\'o n}} = \frac{1}{3}\pi {R^2}h$

S.ABCD là chóp tứ giác đều $\Rightarrow$ ABCD là hình vuông

$BD = AB\sqrt 2 = a\sqrt 3 .\sqrt 2 = a\sqrt 6 \Rightarrow r = OB = \frac{{BD}}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$

Tam giác SAB có: $SA = AB,\,\,\,ASB = {60^0} \Rightarrow \Delta ASB$ đều $\Rightarrow SA = SB = a\sqrt 3$

$\Rightarrow SB = SD = AD = AB = a\sqrt 3$

$\Rightarrow \Delta SBD = ABD\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow SO = OA = OB = OD = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$

Thể tích của khối nón đỉnh S có đáy là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD:

$V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi .O{A^2}.SO = \frac{1}{3}\pi .{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)^3} = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{4}$