A.  $V=\frac{a^3}{5}.$

Gọi $M,N$  lần lượt là trung điểm của AB và CD

Tam giác SAB cân tại S suy ra $SM\perp AB\Rightarrow SM\perp d,$  với $d=\left(SAB\right)\cap \left(SCD\right).$

Vì $\left(SAB\right)\perp \left(SCD\right)$  suy ra $SM\perp \left(SCD\right)\Rightarrow SM\perp SN$  và $\left(SMN\right)\perp \left(ABCD\right).$

Kẻ $SH\perp MN\stackrel{}{\to }SH\perp \left(ABCD\right).$

Ta có $S_{\Delta SAB}+S_{\Delta SCD}=\frac{7a^2}{10}\iff \frac{1}{2}AB.SM+\frac{1}{2}CD.SN=\frac{7a^2}{10}\stackrel{}{\to }SM+SN=\frac{7a}{5}.$

Tam giác SMN vuông tại S nên $S{M}^2+S{N}^2=M{N}^2=a^2.$

Giải hệ $\left\{\begin{array}{l}SM+SN=\frac{7a}{5}\\ S{M}^2+S{N}^2=a^2\end{array}\right.\iff SM=\frac{3a}{5}\&SN=\frac{4a}{5}\stackrel{}{\to }SH=\frac{SM.SN}{MN}=\frac{12a}{25}.$

Vậy thể tích khối chóp $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.S_{ABCD}.SH=\frac{4a^3}{25}.$  Chọn C.