Đáp án B
Phương pháp:
Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {\alpha ;\beta } \right)\)
- Tìm giao tuyến \(\Delta \) của \(\left( {\alpha ;\beta } \right)\)
- Xác định 1 mặt phẳng \(\gamma \bot \Delta \)
- Tìm các giao tuyến \(a = \alpha \cap \gamma ,\,\,\,b = \beta \cap \gamma \)
- Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {\alpha ;\beta } \right):\,\,\,\left( {\alpha ;\beta } \right) = \left( {a;b} \right)\)
Cách giải:
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD.
Tam giác SAB cân tại S \( \Rightarrow SI \bot AB\)
Vì mặt bên SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) nên \(SI \bot \left( {ABCD} \right)\)
Ta có: \[{\rm{IJ}} \bot CD,\,\,SI \bot CD \Rightarrow CD \bot \left( {SIJ} \right)\]
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\\left( {SIJ} \right) \bot CD\\\left( {SIJ} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SJ\\\left( {SIJ} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = IJ\end{array} \right. \Rightarrow \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SJ;IJ} \right) = SJI\,\,do\,\,SJI < {90^0}\)
\(\cos \,SJI = \frac{{2\sqrt {19} }}{{19}}\)
\( \Rightarrow \frac{{IJ}}{{SJ}} = \frac{{2\sqrt {19} }}{{19}} \Rightarrow S = \frac{a}{{\frac{{2\sqrt {19} }}{{19}}}} = \frac{{a\sqrt {19} }}{2}\)
\( \Rightarrow SI = \sqrt {S{J^2} - I{J^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt {19} }}{2}} \right)}^2} - {a^2}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{2}\)
Thể tích của khối chóp S.ABCD: \(V = \frac{1}{3}.SI.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt {15} }}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{6}\)
