Gọi $O=AC\cap BD$. Khi đó, Olà trục của hình chóp S.ABCD.

Gọi M là trung điểm của của SD. Kẻ đường trung trực của cạnh SD cắt SO tại I. Khi đó, I là tâm khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Ta có: $\Delta SMI~\Delta SOD$ suy ra $\frac{SM}{SO}=\frac{SI}{SD}=\frac{MI}{OD}\Rightarrow SI=\frac{SM.SD}{SO}=\frac{S{D}^2}{2\text{S}O}$

Ta có: $OD=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\sqrt{3^2+4^2}=\frac{5}{2}$ . Xét tam giác SOD vuông tại O, ta có:

$SO=\tan 60°.O\text{D}=\frac{5\sqrt{3}}{2}, SD=\frac{OD}{\text{cos\hspace{0.17em}60}°}=5$

Suy ra $SI=\frac{5^2}{2.\frac{5\sqrt{3}}{2}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$. Vậy $V=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)}^3=\frac{500\sqrt{3}}{27}\pi$