Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên với đáy bằng \({45^0}\). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC. Tính thể tích của khối tứ diện AMNP.
D. \(\frac{{{a^3}}}{{24}}\)
Đáp án A
Phương pháp:
- Lập tỉ lệ thể tích khối tứ diện AMNP với khối chóp S.ABCD
- Tính thể tích khối chóp S.ABCD
- Tính thể tích khối tứ diện AMNP .
Cách giải:
M là trung điểm của SA \( \Rightarrow {S_{AMP}} = \frac{1}{2}{S_{SAP}} \Rightarrow {V_{AMNP}} = \frac{1}{2}{V_{N.SMP}}\)
N là trung điểm của SB \( \Rightarrow {V_{N.SMP}} = \frac{1}{2}{V_{S.ABP}}\)
P là trung điểm của CD \( \Rightarrow {S_{ABP}} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}} \Rightarrow {V_{S.ABP}} = \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}}\)
\( \Rightarrow {V_{AMNP}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}.{V_{S.ABCD}} = \frac{{{V_{S.ABCD}}}}{8}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OP \bot CD\\SO \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SOP} \right) \Rightarrow \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = SPO = {45^0} \Rightarrow \Delta SOP\) vuông cân tại O
\( \Rightarrow SO = OP = \frac{a}{2}\)
Thể tích khối chóp S.ABCD: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{a}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}}}{6}\)
\( \Rightarrow {V_{AMNP}} = \frac{{{V_{S.ABCD}}}}{8} = \frac{{{a^3}}}{{48}}\)