Cho hàm số $y=f\left(x\right)$  có đạo hàm $f^{\text{'}}\left(x\right)$ . Hàm số $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$   liên tục trên tập số thực và có bảng biến thiên như sau:

Biết rằng $f\left(-1\right)=\frac{10}{3}$ , $f\left(2\right)=6$ . Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số $g\left(x\right)=f^3\left(x\right)-3f\left(x\right)$  trên đoạn $\left[-1;2\right]$ .

Xét hàm số $g\left(x\right)=f^3\left(x\right)-3f\left(x\right)$  trên đoạn $\left[-1;2\right]$

$g^{\text{'}}\left(x\right)=3\left[f^2\left(x\right)-1\right]\cdot f^{\text{'}}\left(x\right)$,$g^{\text{'}}\left(x\right)=0$$\iff \left[\begin{array}{l}{f}^{\text{'}}\left(x\right)=0\left(1\right)\\ f^2\left(x\right)=1\left(2\right)\end{array}\right.$ .

Từ bảng biến thiên, ta có: $\left(1\right)\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\in \left[-1;2\right]\\ x=2\in \left[-1;2\right]\end{array}\right.$

Và $f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0$ , $\forall x\in \left[-1;2\right]$   nên $f\left(x\right)$  đồng biến trên $\left[-1;2\right]$$\Rightarrow f\left(x\right)\ge f\left(-1\right)=\frac{10}{3}$

$\Rightarrow f\left(x\right)>1$ $\Rightarrow f^2\left(x\right)>1$, $\forall x\in \left[-1;2\right]$  nên  vô nghiệm.

Do đó, $g^{\text{'}}\left(x\right)=0$  chỉ có  nghiệm là $x=-1$  và x=-2  .

Ta có $g\left(-1\right)=f^3\left(-1\right)-3f\left(-1\right)$$={\left(\frac{10}{3}\right)}^3-3\left(\frac{10}{3}\right)=\frac{730}{27}$

$g\left(2\right)=f^3\left(2\right)-3f\left(2\right)$$={\left(6\right)}^3-3\left(6\right)=198$.

Vậy $\underset{\left[-1;2\right]}{\min }g\left(x\right)=g\left(-1\right)=\frac{730}{27}$ .