Cho hàm số $y=f\left(x\right)$  có đạo hàm $f\text{'}\left(x\right)$  trên R. Hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số $y=f\text{'}\left(x\right)$  . Hỏi hàm số $g\left(x\right)=f\left(x^2+2\right)$  nghịch biến trên khoảng nào?

Hàm số $g\left(x\right)=f\left(x^2+2\right)$  liên tục và xác định trên R ;$g^{\text{'}}\left(x\right)=2x{f}^{\text{'}}\left(x^2+2\right)$ .

Cho $g^{\text{'}}\left(x\right)=0$ , kết hợp với đồ thị hàm số $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$  ta được:

                                       $\left[\begin{array}{l}x=0\\ f^{\text{'}}\left(x^2+2\right)=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x^2+2=-2\\ x^2+2=2\\ x^2+2=5\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\sqrt{3}\\ x=-\sqrt{3}\end{array}\right.$ .

Từ đồ thị đã cho ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)>0\iff \left[\begin{array}{l}-2<x<2\\ x>5\end{array}\right.$

Suy ra $f^{\text{'}}\left(x^2+2\right)>0\iff \left[\begin{array}{l}-2<x^2+2<2\\ x^2+2>5\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}-4<x^2<0\\ x^2>3\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x>\sqrt{3}\\ x<-\sqrt{3}\end{array}\right.$.

Lập luận tương tự, ta có: $f^{\text{'}}\left(x^2+2\right)<0\iff \left[\begin{array}{l}2<x^2+2<5\\ x^2+2<-2\end{array}\right.\iff 0<x^2<3\iff -\sqrt{3}<x<\sqrt{3}$ .

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên hàm số nghịch biến trên các khoảng  $\left(-\infty ;-\sqrt{3}\right)$  và $\left(0;\sqrt{3}\right)$  .