Ta có: $y^{\text{'}}=3x^2-6mx+2m^2-8m$

${y^{\text{'}}}^{\text{'}}=6x-6m$

Cho ${y^{\text{'}}}^{\text{'}}=0\iff x=m\Rightarrow y=m^2-m$

Suy ra đồ thị hàm số đã cho có điểm uốn   $I\left(m;m^2-m\right)$
Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt cách đều nhau

 $\Rightarrow I\in Ox\iff \left[\begin{array}{l}m=0\\ m=1\end{array}\right.$

Với m=0 , ta có: $y=x^3$ , cho $y=0\Rightarrow x=0$

Nên đồ thị của hàm số chỉ cắt trục Ox tại một điểm duy nhất, suy ra $m=0$  không thỏa 

Với m=1, ta có: $y=x^3-3x^2-6x+8$ , cho$y=0\iff \left[\begin{array}{l}{x}_1=-2\\ x_2=1\\ x_3=4\end{array}\right.\Rightarrow x_1+x_3=2x_2$

Vậy với $m=1$   thỏa yêu cầu bài toán.