Cho hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 1\) có đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\). Tìm giá trị của m để đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) có 3 điểm cực trị, đồng thời 3 điểm cực trị đó tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4.

D. \(m = 16\)

Đáp án B

Phương pháp:

+) Giải phương trình \(y' = 0\) xác định các điểm cực trị của đồ thị hàm số.

+) Ba điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành tam giác cân. Tính diện tích tam giác cân đó.

Cách giải:

\(y = {x^4} - 2m{x^2} + 1 \Rightarrow y' = 4{x^3} - 4mx;\,\,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right.\)

Để hàm số có 3 cực trị thì \(m > 0\). Khi đó, hàm số đạt cực trị tại 3 điểm \({x_1} = 0,\,\,{x_2} = - \sqrt m ,\,\,{x_3} = \sqrt m \)

Các điểm cực trị: \(A\left( {0;1} \right),\,\,B\left( { - \sqrt m ; - {m^2} + 1} \right),\,\,C\left( {\sqrt m ; - {m^2} + 1} \right)\)

Dễ dàng kiểm tra được: tam giác ABC cân tại A với mọi \(m > 0\)

Ta có: \(BC = 2\sqrt m \)

Gọi H là trung điểm của BC \( \Rightarrow H\left( {0; - {m^2} + 1} \right) \Rightarrow AH = {m^2}\)

Diện tích tam giác ABC: \(S = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}.{m^2}.2\sqrt m = 4 \Rightarrow {m^2}\sqrt m = 4 \Leftrightarrow {m^5} = 16 \Leftrightarrow m = \sqrt[5]{{16}}\)