Cho hàm số $y=m{x}^4+3\left(m-1\right)x^2+m^2-1\left(1\right)$ . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) có 3 điểm cực trị.

Chọn D

Tập xác định: D=R .

Ta có: $y^{\text{'}}=4m{x}^2+6\left(m-1\right)x=2x.[2mx+3(m-1\left)\right]$

Cho  $y^{\text{'}}=0\iff \left[\begin{array}{l}2x=0\\ 2m{x}^2+3(m-1)=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ 2m{x}^2+3\left(m-1\right)=0=g\left(x\right)\end{array}\right.$

Để hàm số $\left(1\right)$có ba điểm cực trị $\iff$  phương trình $g\left(x\right)=0$  phải có hai nghiệm phân biệt khác $\iff \left\{\begin{array}{l}{a}_{g\left(x\right)}\ne 0\\ {{\Delta }^{\text{'}}}_{g\left(x\right)}>0\\ g\left(0\right)\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2m\ne 0\\ 0^2-2m.3(m-1)>0\\ 2m{.0}^2+3.(m-1)\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ 0<m<1\\ m\ne 1\end{array}\right.\Rightarrow 0<m<1$

Vậy $0<m<1$  thỏa yêu cầu bài toán.

Cách khác:

Để hàm số có 3 cực trị $\iff ab<0\iff 3m\left(m-1\right)<0\iff 0<m<1$ .