Hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{x+m}{x+1}$  xác định và liên tục trên $\left[0;1\right].$

+ Với m=1  hàm số trở thành y=1$\Rightarrow \underset{\left[0;1\right]}{\text{max}}f\left(x\right)=\underset{\left[0;1\right]}{\text{min}}f\left(x\right)=1\Rightarrow \underset{\left[0;1\right]}{\text{max}}\left|f\left(x\right)\right|+\underset{\left[0;1\right]}{\text{min}}\left|f\left(x\right)\right|=2$

Do đó m=1  thỏa yêu cầu bài toán.

+ Với $m\ne 1$  hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên $\left[0;1\right]$ . Ta có  $f\left(0\right)=m,f\left(1\right)=\frac{m+1}{2}$  

·       TH1: $f\left(0\right).f\left(1\right)\le 0\iff m.\frac{m+1}{2}\le 0\iff -1\le m\le 0$

Khi đó $\underset{\left[0;1\right]}{\text{min}}\left|f\left(x\right)\right|=0$ và $\underset{\left[0;1\right]}{\text{max}}\left|f\left(x\right)\right|=\left|m\right|$ hoặc $\underset{\left[0;1\right]}{\text{max}}\left|f\left(x\right)\right|=\left|\frac{m+1}{2}\right|$

Theo giả thiết ta phải có $\left[\begin{array}{l}\left|m\right|=2\\ \left|\frac{m+1}{2}\right|=2\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m=\pm 2\\ m=3\\ m=-5\end{array}\right.$  (loại).

·       TH2: $f\left(0\right).f\left(1\right)>0\iff m\frac{m+1}{2}>0\iff \left[\begin{array}{l}m<-1\\ m>0\end{array}\right.$

Khi đó  $\left[\begin{array}{l}\underset{\left[0;1\right]}{\max }\left|f\left(x\right)\right|=\left|f\left(1\right)\right|;\underset{\left[0;1\right]}{\min }\left|f\left(x\right)\right|=\left|f\left(0\right)\right|\\ \underset{\left[0;1\right]}{\max }\left|f\left(x\right)\right|=\left|f\left(0\right)\right|;\underset{\left[0;1\right]}{\min }\left|f\left(x\right)\right|=\left|f\left(1\right)\right|\end{array}\right..$

Theo giả thiết ta có: $\underset{\left[0;1\right]}{\text{max}}\left|f\left(x\right)\right|+\underset{\left[0;1\right]}{\text{min}}\left|f\left(x\right)\right|=2\iff \left|m\right|+\left|\frac{m+1}{2}\right|=2\iff \left[\begin{array}{l}m+\frac{m+1}{2}=2\\ -m-\frac{m+1}{2}=2\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=-\frac{5}{3}\end{array}\right.$(thoả mãn).

  Vậy với  $\left[\begin{array}{l}m=1\\ m=-\frac{5}{3}\end{array}\right.$  thì điều kiện bài toán thỏa mãn.