Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {e^{\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}}}}\). Tính giá trị biểu thức \(T = f\left( 1 \right).f\left( 2 \right).f\left( 3 \right)...f\left( {2017} \right).\sqrt[{2018}]{e}\)

D. \(T = {e^{\frac{1}{{2018}}}}\)

Đáp án B

Phương pháp:

Biến đổi: \({e^{\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}}}} = {e^{\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}}}\)

Cách giải:

Ta có: \({e^{\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}}}} = {e^{\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}}}\). Khi đó:

\(T = f\left( 1 \right).f\left( 2 \right).f\left( 3 \right)...f\left( {2017} \right).\sqrt[{2018}]{e}\)

\(T = {e^{1 - \frac{1}{2}}}.{e^{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}}.{e^{\frac{1}{3} - \frac{1}{4}}}...{e^{\frac{1}{{2017}} - \frac{1}{{2018}}}}.{e^{\frac{1}{{2018}}}}\)

\(T = {e^{1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2017}} - \frac{1}{{2018}} + \frac{1}{{2018}}}} = e\)