Lại có: $3f^2\left(x^2-4x\right)-\left(m+2\right)f\left(x^2-4x\right)+m-1=0\iff 3g^2\left(x\right)-\left(m+2\right)g\left(x\right)+m-1=0\left(2\right)$

Ta có: $\Delta ={\left(m+2\right)}^2-\mathrm{4.3.}\left(m-1\right)0=m^2-8m+16={\left(m-4\right)}^2>0,\forall m\ne 4$

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình  có tối đa là 5 nghiệm phân biệt

Do đó, để phương trình $3f^2\left(x^2-4x\right)-\left(m+2\right)f\left(x^2-4x\right)+m-1=0$ có đúng 8 nghiệm phân biệt thì

TH1. $\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)=2\\ -2<g\left(x\right)<2\end{array}\right.$. Thế $g\left(x\right)=2$ vào phương trình (2) ta được m = 7. Khi m = 7 , phương trình (2) có hai nghiệm $\left[\begin{array}{l}g\left(x\right)=2\\ g\left(x\right)=1\end{array}\right.$ thỏa yêu cầu.

TH2. $\left\{\begin{array}{l}-3<g\left(x\right)<-2\\ -2<g\left(x\right)<2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-3<\frac{m+2-\sqrt{{\left(m-4\right)}^2}}{6}<-2\\ -2<\frac{m+2+\sqrt{{\left(m-4\right)}^2}}{6}<2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-18<m+2-\left|m-4\right|<-12\\ -12<m+2+\left|m-4\right|<12\end{array}\right.$

Với $m\ge 4$ , ta có: $\iff \left\{\begin{array}{l}-18<6<-12\\ -12<2m-2<12\end{array}\right.$ (vô lí).

Với m < 4, ta có: $\iff \left\{\begin{array}{l}-18<2m-2<-12\\ -12<6<12\end{array}\right.\iff -8<m<-5, m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{-7,-6\right\}$

Vậy có tổng các giá trị nguyên của tham số m  thỏa yêu cầu đề bài là $7+\left(-7\right)+\left(-6\right)=-6$