Cho hàm số $y = f\left( x \right)$. Hàm số $y = f'\left( x \right)$có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số $y = f\left( {{x^2} - 2} \right) - \left( {\frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} - 3x + 4} \right)$nghịch biến trong khoảng nào dưới đây?

Lời giải

Chọn C

Chọn $f'\left( x \right) = \left( {x - 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2}\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)$

Đặt $y = g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2} \right) - \left( {\frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} - 3x + 4} \right)$.

Khi đó $g'\left( x \right) = 2x.f'\left( {{x^2} - 2} \right) - \left( {{x^2} + 2x - 3} \right)$.

$= 2x.\left( {{x^2} - 2 - 1} \right){\left( {{x^2} - 2 - 2} \right)^2}\left( {{x^2} - 2 - 3} \right)\left( {{x^2} - 2 - 4} \right) - \left( {{x^2} + 2x - 3} \right)$$= 2x.\left( {{x^2} - 3} \right){\left( {{x^2} - 4} \right)^2}\left( {{x^2} - 5} \right)\left( {{x^2} - 6} \right) - \left( {{x^2} + 2x - 3} \right)$

$g'\left( { - 2} \right) = 3 > 0$

$\,g'\left( 3 \right) = 10788 > 0$

Cách 2: (TV phản biện)

Ta có $y' = g'\left( x \right) = 2x.f'\left( {{x^2} - 2} \right) - \left( {{x^2} + 2x - 3} \right)$

Từ đồ thị ta có $f'\left( {{x^2} - 2} \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 2 < 1}\\{3 < {x^2} - 2 < 4}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \in \left( { - \sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right)}\\{x \in \left( { - \sqrt 6 ; - \sqrt 5 } \right) \cup \left( {\sqrt 5 ;\sqrt 6 } \right)}\end{array}} \right.$.

Suy ra $2xf'\left( {{x^2} - 2} \right) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - \sqrt 6 } \right) \cup \left( { - \sqrt 5 ; - \sqrt 3 } \right) \cup \left( {0;\sqrt 3 } \right) \cup \left( {\sqrt 5 ;\sqrt 6 } \right)$

Nên ta lập được bảng xét dấu của $g'\left( x \right)$như sau

Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 3} \right)$, $\left( {1;\sqrt 3 } \right)$và $\left( {\sqrt 5 ;\sqrt 6 } \right)$.

Vậy đáp án đúng là đáp án