Cho hàm số y = f( x ). Đồ thị hàm y = f'( x ) như hình vẽ Đặt g( x ) = 3f( x ) - x^3 + 3x - m, với (m) là tham số thực. Điều kiện cần và đủ để bất phương trình g( x ) lớn hơn bằng 0 đúng
29
03/05/2024
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Đồ thị hàm \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ
Đặt \(g\left( x \right) = 3f\left( x \right) - {x^3} + 3x - m\), với \(m\) là tham số thực. Điều kiện cần và đủ để bất phương trình \(g\left( x \right) \ge 0\) đúng với \(\forall x \in \left[ { - \sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right]\) là
A. \(m \le 3f\left( {\sqrt 3 } \right)\).
B. \(m \le 3f\left( 0 \right)\).
C. \(m \ge 3f\left( 1 \right)\).
D. \(m \ge 3f\left( { - \sqrt 3 } \right)\).
Trả lời
Lời giải
Chọn A
\(g\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow 3f\left( x \right) - {x^3} + 3x - m \ge 0 \Leftrightarrow 3f\left( x \right) - {x^3} + 3x \ge m\).
Đặt \(h\left( x \right) = 3f\left( x \right) - {x^3} + 3x\). Ta có \(h'\left( x \right) = 3f'\left( x \right) - 3{x^2} + 3\). Suy ra
\(\,\,\left\{ \begin{array}{l}h'\left( { - \sqrt 3 } \right) = 3f'\left( { - \sqrt 3 } \right) - 6 = 0\\h'\left( {\sqrt 3 } \right) = 3f'\left( {\sqrt 3 } \right) - 6 = 0\\h'\left( 0 \right) = 3f'\left( 0 \right) = 0\\h'\left( 1 \right) = 3f'\left( 1 \right) < 0\end{array} \right.\)
Từ đó ta có bảng biến thiên
Vậy \(g\left( x \right) \le m \Leftrightarrow g\left( x \right) \le h\left( {\sqrt 3 } \right) = 3f\left( {\sqrt 3 } \right)\).
