Cho hàm số $y = f\left( x \right)$. Đồ thị hàm $y = f'\left( x \right)$ như hình vẽ

Đặt $g\left( x \right) = 3f\left( x \right) - {x^3} + 3x - m$, với $m$ là tham số thực. Điều kiện cần và đủ để bất phương trình $g\left( x \right) \ge 0$ đúng với $\forall x \in \left[ { - \sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right]$ là

Lời giải

Chọn A

$g\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow 3f\left( x \right) - {x^3} + 3x - m \ge 0 \Leftrightarrow 3f\left( x \right) - {x^3} + 3x \ge m$.

Đặt $h\left( x \right) = 3f\left( x \right) - {x^3} + 3x$. Ta có $h'\left( x \right) = 3f'\left( x \right) - 3{x^2} + 3$. Suy ra

$\,\,\left\{ \begin{array}{l}h'\left( { - \sqrt 3 } \right) = 3f'\left( { - \sqrt 3 } \right) - 6 = 0\\h'\left( {\sqrt 3 } \right) = 3f'\left( {\sqrt 3 } \right) - 6 = 0\\h'\left( 0 \right) = 3f'\left( 0 \right) = 0\\h'\left( 1 \right) = 3f'\left( 1 \right) < 0\end{array} \right.$

Từ đó ta có bảng biến thiên

Vậy $g\left( x \right) \le m \Leftrightarrow g\left( x \right) \le h\left( {\sqrt 3 } \right) = 3f\left( {\sqrt 3 } \right)$.