Cho hàm số y = f( x ) có min limits [ - 1; 1] f( x ) = 5 tại x = 1. Bất phương trình f( x ) + căn bậc hai của 1 - x} + căn bậc ai của 5 - x nhỏ hơn bằng m có nghiệm x thuộc [ - 1;1] khi m tho
39
26/04/2024
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\]có \[\mathop {min}\limits_{\left[ { - 1;\,1} \right]} f\left( x \right) = 5\] tại \[x = 1\]. Bất phương trình \[f\left( x \right) + \sqrt {1 - x} + \sqrt {5 - x} \le m\] có nghiệm \[x \in \left[ { - 1;\,1} \right]\]khi \[m\] thoả mãn:
A. \[m \le 7\].
B. \[m < 7\].
C. \[m > 7\].
D. \[m \ge 7\].
Trả lời
Lời giải
Theo đề bài ta có: \[\mathop {min}\limits_{\left[ { - 1;\,1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 5.\]
Đặt \[g\left( x \right) = \sqrt {1 - x} + \sqrt {5 - x} \] với \[x \in \left[ { - 1;\,1} \right]\]; \[g'\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{{2\sqrt {1 - x} }} + \frac{{ - 1}}{{2\sqrt {5 - x} }} < 0\,\forall x \in \left( { - \infty ;\,\,1} \right]\].
Hàm số \[y = g\left( x \right)\] luôn nghịch biến trên \[\left[ { - 1;\,1} \right]\]. Vậy\[\mathop {min}\limits_{\left[ { - 1;\,1} \right]} g\left( x \right) = g\left( 1 \right) = 2\].
Để phương trình \[f\left( x \right) + \sqrt {1 - x} + \sqrt {5 - x} \le m\] có nghiệm trên \[x \in \left[ { - 1;\,1} \right]\] khi và chỉ khi
\[m \ge \mathop {min}\limits_{\left[ { - 1;\,1} \right]} \left( {f\left( x \right) + \sqrt {1 - x} + \sqrt {5 - x} } \right) = 5 + 2 = 7.\] Vậy \[m \ge 7\].
