Cho hàm số f(x) = x^3 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng –1

Bài 8 trang 66 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = x³ có đồ thị (C).

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng –1.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 8.

Trả lời

Hàm số f(x) = x³.

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x.

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = (x + ∆x)³ – x³

= x³ + 3x².∆x + 3x(∆x)² + (∆x)³ – x³

= 3x².∆x + 3x(∆x)² + (∆x)³

= ∆x[3x² + 3x.∆x + (∆x)²]

Suy ra $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta x\cdot \left[3x^2+3x\cdot \Delta x+{\left(\Delta x\right)}^2\right]}{\Delta x}=3x^2+3x\cdot \Delta x+{\left(\Delta x\right)}^2.$

Ta thấy $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left[3x^2+3x\cdot \Delta x+{\left(\Delta x\right)}^2\right]=3x^2+3x\cdot 0+0^2=3x^2.$

Vậy f'(x) = 3x².

a) Ta có f'(–1) = 3.(–1)² = 3 và f(–1) = (–1)³ = –1.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng –1 là:

y = f’(–1)(x – (–1)) + f(–1)

Hay y = 3(x + 1) – 1, tức là y = 3x + 2.

b) Gọi hoành độ của tiếp điểm có tung độ bằng 8 là x₀.

Do tiếp điểm thuộc (C), nên ta có:

f(x₀) = (x₀)³ = 8. Suy ra x₀ = 2.

Ta có: f'(2) = 3.2² = 12.

Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 8 là:

y = f’(2)(x – 2) + 8, hay y = 12(x – 2) + 8, tức là y = 12x – 16.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác: