Cho hàm số f(x) biết đồ thị hàm số $f^{\text{'}}\left(x^2-2x\right)$   như hình vẽ bên dưới.Xét tính đơn điệu của hàm số $g\left(x\right)=f\left(x^2-1\right)+\frac{2}{3}{x}^3+1$

.

Nếu tịnh tiến đồ thị đã cho qua trái 1 đơn vị thì hàm số có dạng  .

$y=a{x}^4+bx+c\left(a\ne 0\right)$.

Đồ thị cho trên đề bài : $y={\left(x-1\right)}^4-4\left(x-1\right)+1={\left(x^2-2x\right)}^2-4\left(x^2-2x\right)-1$ . 

$\Rightarrow f^{\text{'}}\left(x^2-2x\right)={\left(x^2-2x\right)}^2-2\left(x^2-2x\right)-1$.

Đặt $x^2-2x=t$

$\Rightarrow f^{\text{'}}\left(t\right)=t^2-2t-1$

Ta có $g\left(x\right)=f\left(x^2-1\right)+\frac{2}{3}{x}^3+1$

$g^{\text{'}}\left(x\right)=2x.f^{\text{'}}\left(x^2-1\right)+2x^2=2x\left(f^{\text{'}}\left(x^2-1\right)+x\right)=2x\left[{\left(x^2-1\right)}^2-2\left(x^2-1\right)-1+x\right]$

$=2x\left(x^4-4x^2+x+2\right)$

$g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=1\\ x=-2\\ x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\end{array}\right.$

Bảng xét dấu của $g^{\text{'}}\left(x\right)$

Dựa vào bảng xét dấu hàm số g(x) đồng biến trên các khoảng  $\left(-2;\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)$ và  (0,1) và $\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2};+\infty \right)$

nghịch biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-2\right)$ và $\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2};0\right)$ và .$\left(1;\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$