Lời giải

Chọn B

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Xét $u\left( x \right) = {x^4} - 4{x^3} + 4{x^2} + m$ liên tục trên $\left[ {0;2} \right]$.

Ta có $u'\left( x \right) = 4{x^3} - 12{x^2} + 8x$, $u'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 1}\\{x = 2}\end{array}} \right.$.

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u\left( 0 \right) = m}\\{u\left( 1 \right) = m + 1}\\{u\left( 2 \right) = m}\end{array}} \right.$.

Suy ra: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop {min}\limits_{\left[ {{\rm{0;2}}} \right]} u\left( x \right) = m}\\{\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {{\rm{0;2}}} \right]} u\left( x \right) = m + 1}\end{array}} \right.$.

$\mathop {min}\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {0;\left| m \right|;\left| {m + 1} \right|} \right\}$ hoặc $\mathop {min}\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = 0$, với $m \in \left[ { - 3;3} \right]$ (*).

Trường hợp 1: $m\left( {m + 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le m \le 0$.

      $\mathop {min}\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = 0$

Trường hợp 2: $m > 0$ kết hợp với (*) ta có: $0 < m \le 3$.

$\mathop {min}\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = \left| m \right|$.

Trường hợp 3: $m + 1 < 0 \Leftrightarrow m < - 1$ kết hợp với (*) ta có $- 3 \le m < - 1$.

$\mathop {min}\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = \left| {m + 1} \right|$.

Khi đó: $\mathop {min}\limits_{\left[ {{\rm{0;2}}} \right]} f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| m \right|,m \in 0;3}\\{\left| {m + 1} \right|,m \in \left. { - 3; - 1} \right)}\\{0,m \in \left[ { - 1;0} \right]}\end{array}} \right.$.

Dựa vào đồ thị ta thấy $\mathop {min}\limits_{\left[ {{\rm{0;2}}} \right]} f\left( x \right)$ đạt giá trị lớn nhất bằng $3$ khi $m = 3$.