Đáp án đúng là: D

Ta có : $2f\left(x\right)+m=0\iff f\left(x\right)=-\frac{m}{2}$.

Phương trình $2f\left(x\right)+m=0$ có bốn nghiệm thực phân biệt $\iff -2<-\frac{m}{2}<1\iff -2<m<4$.

Kết hợp với điều kiện $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{-1;0;1;2;3\right\}$.

Vậy có 5 giá trị m nguyên để phương trình $2f\left(x\right)+m=0$ có bốn nghiệm thực phân biệt.