Cho hàm số bậc bốn $y=f\left(x\right).$  Hàm số $y=f^{\text{'}}\left(2x-1\right)$  có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Hàm số $g\left(x\right)=f\left(4x+3\right)$  đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Lời giải:

Bước 1: Chuyển điều kiện về   $f^{\text{'}}\left(u\right).$

Ta có:$f^{\text{'}}\left(2x-1\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\Rightarrow 2x-1=-3\\ x=0\Rightarrow 2x-1=-1\\ x=2\Rightarrow 2x-1=3\end{array}\right..$  Vậy  $f^{\text{'}}\left(u\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}u=-3\\ u=-1\\ u=3\end{array}\right..$

+)  $f^{\text{'}}\left(2x-1\right)>0\iff \left[\begin{array}{l}x>2\Rightarrow 2x-1>3\\ -1<x<0\Rightarrow -3<2x-1<-1\end{array}\right..$Vậy $f^{\text{'}}\left(u\right)>0\iff \left[\begin{array}{l}u>3\\ -3<u<-1\end{array}\right..$

+)  $f^{\text{'}}\left(2x-1\right)<0\iff \left[\begin{array}{l}x<-1\Rightarrow 2x-1<-3\\ 0<x<2\Rightarrow -1<2x-1<3\end{array}\right..$Vậy $f^{\text{'}}\left(u\right)<0\iff \left[\begin{array}{l}u<-3\\ -1<u<3\end{array}\right..$

Bước 2: Áp dụng vào bài toán:

Ta có: $g^{\text{'}}\left(x\right)={\left(4x+3\right)}^{\text{'}}{f}^{\text{'}}\left(\underset{u}{\underbrace{4x+3}}\right)=4.f^{\text{'}}\left(\underset{u}{\underbrace{4x+3}}\right)$

Yêu cầu bài toán $\iff g^{\text{'}}\left(x\right)>0\iff f^{\text{'}}\left(\underset{u}{\underbrace{4x+3}}\right)>0\iff \left[\begin{array}{l}u>3\\ -3<u<-1\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}4x+3>3\\ -3<4x+3<-1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x>0\\ -\frac{3}{2}<x<-1\end{array}\right..$

Chọn đáp án A.