Cho hàm số bậc bốn y = f( x ) có đồ thị như hình vẽ bên Số điểm cực trị của hàm số g( x ) = f( 2x^3 - 3x^2 + 1) là A. 5 B. 3 C. 7 D. 11
87
05/05/2024
Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên
Số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {2{x^3} - 3{x^2} + 1} \right)\) là
A. \(5\) .
B. \(3\).
C. \(7\) .
D. \(11\).
Trả lời
Lời giải
Chọn C
Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).
Ta có \(g'\left( x \right) = \left( {6{x^2} - 6x} \right)f'\left( {2{x^3} - 3{x^2} + 1} \right)\);
\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{6{x^2} - 6x = 0}\\{f'\left( {2{x^3} - 3{x^2} + 1} \right) = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 1}\\{f'\left( {2{x^3} - 3{x^2} + 1} \right) = 0}\end{array}} \right.{\rm{\;\;}}\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\\{\left( 1 \right)}\end{array}\).
Mặt khác, từ đồ thị hàm số ta thấy \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = a \in \left( { - 1;0} \right)}\\{x = b \in \left( {0;1} \right)}\\{x = 2}\end{array}} \right.\).
Do đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{x^3} - 3{x^2} + 1 = a}\\{2{x^3} - 3{x^2} + 1 = b}\\{2{x^3} - 3{x^2} + 1 = 2}\end{array}} \right.{\rm{\;\;\;\;}}\begin{array}{*{20}{c}}{\left( 2 \right)}\\{\left( 3 \right)}\\{\left( 4 \right)}\end{array}\).
Xét hàm số \(u = 2{x^3} - 3{x^2} + 1\), \(u' = 6{x^2} - 6x\), \(u' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 1}\end{array}} \right.\).
Bảng biến thiên:
Từ đó ta có
Với \(a \in \left( { - 1;0} \right)\), phương trình \(\left( 2 \right)\) có một nghiệm duy nhất \({x_1} < 0\).
Phương trình \(\left( 4 \right)\) có một nghiệm duy nhất \({x_2} > 1\).
Với \(b \in \left( {0;1} \right)\), phương trình \(\left( 3 \right)\)có ba nghiệm lần lượt là \({x_3} \in \left( {{x_1};0} \right);{x_4} \in \left( {0;1} \right);{x_5} \in \left( {1;{x_2}} \right)\).
Vậy \(g'\left( x \right) = 0\) có 7 nghiệm đơn nên hàm số có 7 điểm cực trị.
