Cho hàm số bậc ba $y=f\left(x\right)$  có đồ thị như hình vẽ.

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $f\left(x-\sqrt{x^2+1}\right)=f\left(m-1\right)$  có nghiệm.

Xét hàm số $u\left(x\right)=x-\sqrt{x^2+1}$ .

Ta có $u^{\text{'}}\left(x\right)=1-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{\sqrt{x^2+1}-x}{\sqrt{x^2+1}}>0,$$\forall x\in ℝ$

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x-\sqrt{x^2+1}\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-1}{x+\sqrt{x^2+1}}=0$.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra $u\left(x\right)=x-\sqrt{x^2+1}<0,\forall x\in ℝ$  .

Do đó $f\left(x-\sqrt{x^2+1}\right)\le 3$  với mọi $x\in ℝ$ .

Phương trình có nghiệm $\iff f\left(m-1\right)\le 3\iff m-1\le 2\iff m\le 3$ .