Cho hai số thực dương a, b khác 1. Biết rằng bất kì đường thẳng nào song song với trục hoành mà cắt các đường $y = {a^x},\,\,y = {b^x}$ và trục tung lần lượt tại M, N, A thì $2AN = 5AM$ (hình vẽ bên). Hỏi khẳng định nào sau đây đúng?

+) Gọi $M\left( {{x_M};{a^{{x_M}}}} \right);\,\,\,N\left( {{x_N};{a^{{x_N}}}} \right)$

+) Từ $2AN = 5BM \Rightarrow$ mối liên hệ giữa ${x_M};\,\,{x_N}$ từ đó suy ra mối liên hệ giữa a và b.

Cách giải:

Theo đề bài: $2AN = 5AM \Leftrightarrow 2\left| {{x_N}} \right| = 5\left| {{x_M}} \right| \Leftrightarrow 2{x_N} = - 5{x_M}$ (do M, N nằm khác phía so với trục Oy)

$\Leftrightarrow {x_N} = \frac{{ - 5}}{2}{x_M}$

Tung độ các điểm M, N ${a^{{x_M}}} = {b^{{x_N}}} \Leftrightarrow {a^{{x_M}}} = {b^{\frac{{ - 5}}{2}{x_M}}} = {\left( {{b^{\frac{{ - 5}}{2}}}} \right)^{{x_M}}}$

Do M tùy ý nên $a = {b^{ - \frac{5}{2}}} \Leftrightarrow a{b^{\frac{5}{2}}} = 1 \Leftrightarrow {a^2}{b^5} = 1$