Cho hai dãy số (u_n), (v_n) với u_n = \(8 + \frac{1}{n}\); v_n = \(4 - \frac{2}{n}\).

a) Tính limu_n, limv_n.

b) Tính lim(u_n + v_n) và so sánh giá trị đó với tổng limu_n + limv_n.

c) Tính lim(u_n.v_n) và so sánh giá trị đó với tổng limu_n.limv_n.

Lời giải

a) Ta có: \(\lim \left( {{u_n} - 8} \right) = \lim \left( {8 + \frac{1}{n} - 8} \right) = 0\).

Do đó limu_n = 8.

Ta có: \(\lim \left( {{v_n} - 4} \right) = \lim \left( {4 - \frac{2}{n} - 4} \right) = 0\)

Do đó limv_n = 4.

b) limu_n + limv_n = 8 + 4 = 12.

Ta có: u_n + v_n = \(8 + \frac{1}{n} + 4 - \frac{2}{n} = 12 - \frac{1}{n}\)

Ta lại có: \(\lim \left( {{u_n} + {v_n} - 12} \right) = \lim \left( {12 - \frac{1}{n} - 12} \right) = 0\)

Suy ra lim(u_n + v_n) = 12.

Vì vậy lim(u_n + v_n) = limu_n + limv_n.

b) Ta có: u_n.v_n = \(\left( {8 + \frac{1}{n}} \right)\left( {4 - \frac{2}{n}} \right) = 32 - \frac{{12}}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}\).

Khi đó lim(u_n.v_n – 32) = \(\lim \left( {32 - \frac{{12}}{n} - \frac{2}{{{n^2}}} - 32} \right) = 0\).

Ta lại có: limu_n.limv_n = 8.4 = 32.

Vì vậy limu_n.limv_n = lim(u_nv_n).