Cho góc α thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 180°. Chứng minh rằng

sin⁴ α − cos⁴ α = 2 sin² α − 1.

Hướng dẫn giải:

Cách 1. Ta có \({\cos ^4}\alpha = {\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)^2} = {\left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right)^2} = 1 - 2{\sin ^2}\alpha + {\sin ^4}\alpha \)

Do đó: sin⁴ α − cos⁴ α = sin⁴ α – (1 – 2sin² α + sin⁴ α) = 2 sin² α − 1.

Vậy ta được điều phải chứng minh.

Cách 2. Ta có sin⁴ α − sin⁴ α = (sin² α + cos² α)( sin² α − cos² α)

 = 1. [sin² α – (1 − sin² α)] = 2 sin² α − 1.

Vậy sin⁴ α − cos⁴ α = 2 sin² α − 1.

Cách 3. Ta sử dụng phép biến đổi tương đương

sin⁴ α − cos⁴ α = 2 sin² α − 1

⇔ sin⁴ α − 2 sin² α + 1 − cos⁴ α = 0

⇔ (1 − sin² α)² − cos⁴ α = 0

⇔ cos⁴ α − cos⁴ α = 0 (luôn đúng).

Vậy đẳng thức được chứng minh.