Cho cấp số nhân (u_n), với u₁ = 1 và công bội \(q = \frac{1}{2}\).

a) Hãy so sánh |q| với 1.

b) Tính S_n = u₁ + u₂ + ... + u_n. Từ đó, hãy tính limS_n.

Lời giải

a) Ta có: |q| = \(\frac{1}{2}\) < 1.

b) Ta có: (u_n) là cấp số nhân lùi vô hạn có tổng n số hạng đầu tiên là:

\({S_n} = \frac{{1.\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right]}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right]\)

\[\lim {S_n} = \lim 2\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right] = \lim 2.\lim \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right] = 2\].