Cho các số thực x, y thỏa mãn x^2 - xy + y^2 = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x^2 + xy + y^2 A. min P = 2/3 B. min P = 1/6 C. min P = 1/2 D. min P = 2
38
26/04/2024
Cho các số thực \(x\), \(y\) thỏa mãn \({x^2} - xy + {y^2} = 2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + xy + {y^2}\).
A. \(\min P = \frac{2}{3}\).
B. \(\min P = \frac{1}{6}\).
C. \(\min P = \frac{1}{2}\).
D. \(\min P = 2\).
Trả lời
Lời giải
Xét \(\frac{P}{2} = \frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{2} = \frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{{{x^2} - xy + {y^2}}}\).
Nếu \(y = 0\) thì \({x^2} = 2\). Do đó \(P = {x^2} = 2 \Rightarrow \min P = 2\).
Nếu \(y \ne 0\), chia cả tử và mẫu cho \({y^2}\) ta có: \(\frac{P}{2} = \frac{{1 + \left( {\frac{x}{y}} \right) + {{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2}}}{{1 - \left( {\frac{x}{y}} \right) + {{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2}}}\).
Đặt \(t = \frac{x}{y}\), khi đó \(\frac{P}{2} = \frac{{1 + t + {t^2}}}{{1 - t + {t^2}}}\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{1 + t + {t^2}}}{{1 - t + {t^2}}} \Rightarrow f'\left( t \right) = \frac{{ - 2{t^2} + 2}}{{{{\left( {1 - t + {t^2}} \right)}^2}}}\).
\(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 1\end{array} \right.\).
Từ bảng biến thiên ta \(\min \frac{P}{2} = \frac{1}{3} \Rightarrow \min P = \frac{2}{3}\).
