Cho bất phương trình $m\sqrt{1-x}+12\sqrt{1-x^2}\ge 16x+3m\sqrt{1+x}+2m+15$ . Tìm các giá trị nguyên của tham số $m\in \left[-9;9\right]$  để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x\in \left[-1;1\right]$  .

Bpt: $m\sqrt{1-x}+12\sqrt{1-x^2}\ge 16x+3m\sqrt{1+x}+2m+15$

$m\left(\sqrt{1-x}-3\sqrt{1+x}-2\right)\ge 2\left(8x-6\sqrt{1-x^2}\right)+15$ (1).

Ÿ Đặt $t=\sqrt{1-x}-3\sqrt{1+x}$  với $x\in \left[-1;1\right]$  .

$t^{\text{'}}=-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}-\frac{3}{2\sqrt{1+x}}<0\forall x\in \left(-1;1\right)$.

Suy ra  nghịch biến trên $\left[-1;1\right]$ .

Nên $t\left(1\right)\le t\le t\left(-1\right)$$\iff -3\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}$  .

Ÿ Ta có $t^2=8x+10-6\sqrt{1-x^2}$$\iff 2t^2-5=2\left(8x-6\sqrt{1-x^2}\right)+15$ .

Khi đó (1) trở thành:$m\left(t-2\right)\ge 2t^2-5$  với $t\in \left[-3\sqrt{2};\sqrt{2}\right]$ .

$m\le \frac{2t^2-5}{t-2}$ (2) với $t\in \left[-3\sqrt{2};\sqrt{2}\right]$   (vì $t\in \left[-3\sqrt{2};\sqrt{2}\right]$  nên $\left(t-2\right)<0$ ).

 Xét hàm số $f\left(t\right)=\frac{2t^2-5}{t-2}$  trên đoạn $\left[-3\sqrt{2};\sqrt{2}\right]$  .

$f^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{4t\left(t-2\right)-\left(2t^2-5\right)}{{\left(t-2\right)}^2}=\frac{2t^2-8t+5}{{\left(t-2\right)}^2}$.

$f^{\text{'}}\left(t\right)=0$$\left[\begin{array}{l}t=\frac{4+\sqrt{6}}{2} ( loại)\\ t=\frac{4-\sqrt{6}}{2} ( thõa mãn)\end{array}\right.$

$f(-3\sqrt{2})=\frac{62-93\sqrt{2}}{14}\approx -4,97$; $f\left(\sqrt{2}\right)=\frac{2+\sqrt{2}}{2}\approx 1,7$; $f\left(\frac{4-\sqrt{6}}{2}\right)=8-2\sqrt{6}\approx 3,1$

(1) nghiệm đúng với mọi $x\in \left[-1;1\right]\iff$ (2) nghiệm đúng với mọi $t\in \left[-3\sqrt{2};\sqrt{2}\right]$

$m\le \underset{\left[-3\sqrt{2};\sqrt{2}\right]}{\min }f\left(t\right)=f\left(-3\sqrt{2}\right)=\frac{62-93\sqrt{2}}{14}\approx -4,97$.

Kết hợp với điều kiện bài toán ta có: $\left\{\begin{array}{l}m\in \mathbb{Z}\\ m\in \left[-9;9\right]\\ m\le \frac{62-93\sqrt{2}}{14}\approx -4,97\end{array}\right.$ .

$m\in \left\{-9;-8;-7;-6;-5\right\}$

Vậy $m\in \left\{-9;-8;-7;-6;-5\right\}$ .