Cho bất phương trình \({2^{{x^2} + x}} + 2x \le {2^{3 - x}} - {x^2} + 3\) có tập nghiệm là \(\left[ {a;b} \right]\). Giá trị của \(T = 2a + b\) là:
D. \(T = - 2\)
Đáp án B
Phương pháp:
Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
Cách giải:
Ta có: \({2^{{x^2} + x}} + 2x \le {2^{3 - x}} - {x^2} + 3 \Leftrightarrow {2^{{x^2} + x}} + {x^2} + x \le {2^{3 - x}} + 3 - x\,\,\,\left( 1 \right)\)
Xét hàm số \(y = f\left( t \right) = {2^t} + t\) có \(y' = {2^t}.\ln 2 + 1 > 0,\,\,\forall t \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {{x^2} + x} \right) \le f\left( {3 - x} \right) \Leftrightarrow {x^2} + x \le 3 - x \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 \le 0 \Leftrightarrow - 3 \le x \le 1\)
\( \Rightarrow a = - 3,\,\,b = 1 \Rightarrow T = 2a + b = 2.\left( { - 3} \right) + 1 = - 5\)