Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn bán kính bằng 3, biết \(\widehat A = 30^\circ ,\,\,\widehat B = 45^\circ \). Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC gần giá trị nào nhất?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là R = 3.

∆ABC có \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra \(\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {30^\circ + 45^\circ } \right) = 105^\circ \).

Theo hệ quả định lí sin, ta có:

⦁ a = 2R.sinA = 2.3.sin30° = 3.

⦁ b = 2R.sinB = 2.3.sin45° = \(3\sqrt 2 \).

⦁ c = 2R.sinC = 2.3.sin105° = \(\frac{{3\sqrt 6 + 3\sqrt 2 }}{2}\).

Nửa chu vi của ∆ABC là:

\(p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{3 + 3\sqrt 2 + \frac{{3\sqrt 6 + 3\sqrt 2 }}{2}}}{2} = \frac{{6 + 9\sqrt 2 + 3\sqrt 6 }}{4}\).

Ta có S = pr = \(\frac{1}{2}\)ab.sinC

\( \Leftrightarrow \frac{{6 + 9\sqrt 2 + 3\sqrt 6 }}{4}.r = \frac{1}{2}.3.3\sqrt 2 .\sin 105^\circ \)

\( \Leftrightarrow \frac{{6 + 9\sqrt 2 + 3\sqrt 6 }}{4}.r = \frac{{9 + 9\sqrt 3 }}{4}\)

⇔ r ≈ 0,94.

Vậy ta chọn phương án B.