Cắt một khối nón bởi mặt phẳng đi qua trục của nó, ta được một tam giác vuông cân có diện tích bằng 8. Khẳng định nào sau đây sai ?

D. Khối nón có thể tích bằng \(\frac{{16\pi \sqrt 2 }}{3}\)

Phương pháp:

Diện tích hình tròn bán kính R: \(S = \pi {R^2}\)

Diện tích xung quanh của khối nón: \({S_{xq}} = \pi Rl\)

Cách giải:

Theo đề bài, ta có tam giác SAB vuông cân tại S và \({S_{\Delta SAB}} = 8\)

Ta có: \({S_{\Delta SAB}} = \frac{1}{2}.SO.AB = \frac{1}{2}.OA.2OA = O{A^2} = 8 \Rightarrow OA = 2\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \) Đường tròn đáy có bán kính \(R = OA = 2\sqrt 2 \)

Diện tích đáy: \(S = \pi {R^2} = \pi {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = 8\pi \)

Độ dài đường sinh: \(l = SA = OA.\sqrt 2 = 2\sqrt 2 .\sqrt 2 = 4\)

Diện tích xung quanh của khối nón: \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi .2\sqrt 2 .4 = 8\sqrt 2 \pi \)

Đường cao: \(h = SO = OA = 2\sqrt 2 \)

Thể tích khối nón: \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi .{\left( {2\sqrt 2 } \right)^2}.2\sqrt 2 = \frac{{16\sqrt 2 \pi }}{3}\)