Biết rằng hàm số $y = f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c$ đạt cực tiểu tại điểm $x = 1$, giá trị cực tiểu bằng –3 và đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. Tính giá trị của hàm số tại $x = 2$.

D. $f\left( 2 \right) = 4$

Đáp án D

Phương pháp:

$\left\{ \begin{array}{l}f'\left( 1 \right) = 0\\f\left( 1 \right) = 3\\f\left( 0 \right) = 2\end{array} \right.$

Cách giải:

Cho $x = 0 \Rightarrow y = c$, do đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 nên $c = 2$

$y = f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + 2 \Rightarrow y' = 3{x^2} + 2ax + b$

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1 \to y'\left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow 3 + 2a + b = 0 \Leftrightarrow 2a + b = - 3\,\,\,\left( 1 \right)$

Hàm số có giá trị cực tiểu bằng $- 3 \Rightarrow y\left( 1 \right) = - 3 \Leftrightarrow 1 + a + b + 2 = - 3 \Leftrightarrow a + b = - 6\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1), (2) suy ra $\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 9\end{array} \right. \Rightarrow y = f\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2} - 9x + 2 \Rightarrow f\left( 2 \right) = {2^3} + {3.2^2} - 9.2 + 2 = 4$