b)  Cho khối lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với AB= AC=a, góc BAC= 120 độ . Mặt phẳng ( AB'C')tạo với đáy một góc 60 độ.

Trả lời

b)

Gọi H  là trung điểm của $B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ , khi đó góc giữa mp $\left(A{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)$  và đáy là góc $\widehat{AH{A}^{\text{'}}}=60°$  .

Ta có $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AC.AB.\sin 120°=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$  .

$B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}=BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2-2AB.AC.\cos 120°}=\sqrt{a^2+a^2-2.a.a.\frac{-1}{2}}=a\sqrt{3}$

$\Rightarrow A^{\text{'}}H=\frac{2S_{\Delta ABC}}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{a}{2}$$\Rightarrow A{A}^{\text{'}}=A^{\text{'}}H.\tan 60°=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Vậy $V=S_{\Delta ACB}.A{A}^{\text{'}}=\frac{3a^3}{8}$ .