30 Bài tập Tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác bằng phương pháp đổi biến số (2024) cực hay, có đáp án

Nguyên hàm của hàm số lượng giác bằng phương pháp đổi biến số

1. Phương pháp giải

Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho f[u(x)] xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f thì:

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính:

I = ∫sin⁡(x² - x + 1).(2x - 1) dx

A. cos⁡(x² - x + 1) + c.

B. -2 cos⁡(x² - x + 1) + c.

C. -1/2 . cos⁡(x² - x + 1).

D. -cos⁡(x² - x + 1).

Lời giải

Ta có: sin⁡(x² - x + 1).(2x - 1)dx = sin⁡(x² - x + 1).(x² - x + 1)' dx

= sin⁡(x² - x + 1).d(x² - x + 1)

Đặt u = x² - x + 1 ta được:

⇒ I = ∫sin⁡(x² - x + 1).(2x - 1) dx = ∫sin⁡(x² - x + 1).d(x² - x + 1)

I = ∫sinudu = -cosu + C = -cos⁡(x² - x + 1) + c

Chọn D.

Ví dụ 2. Tính I = ∫sin³x.cosx dx

Lời giải

Ta có: sin³x.cosx.dx = sin³x.d(sinx)

Đặt u = sinx ta được:

Chọn C.

Ví dụ 3. Tính 

Lời giải

Chọn C.

Ví dụ 4. Tính: 

Lời giải

Chọn B.

Ví dụ 5. Tính 

Lời giải

Chọn A.

Ví dụ 6. Tính 

A. tanx - x + c.

B. tanx - x² + c.

C. xtanx + x + c.

D. xcotx – x + c.

Lời giải

Chọn A.

Ví dụ 7. Tính 

Lời giải

Chọn D.

Ví dụ 8. Tính 

Lời giải

Chọn B.

Ví dụ 9. Tính I = ∫tan³xdx

Lời giải

Chọn A.

Ví dụ 10. Tính 

A. 3ln|cosx + 2| - ln⁡|cosx + 1| + c

B. -3ln|cosx + 2| - ln⁡|cosx + 1| + c

C. 4ln|cosx + 2| + 2ln⁡|cosx + 1| + c

D. 2ln|cosx + 2| - 3ln⁡|cosx + 1| + c

Lời giải

Chọn B.

Ví dụ 11. Tính 

Lời giải

Chọn D.

Ví dụ 12. Tính 

Lời giải

Ví dụ 13. Tính 

Lời giải

Chọn A.

3. Bài tập vận dụng (có đáp án)

Câu 1: Tính I = ∫cos⁡(x³ + 2).x² dx

Lời giải:

Chọn C.

Câu 2: Tìm nguyên hàm của hàm số 

Lời giải:

Chọn D.

Câu 3: Tìm nguyên hàm của hàm số:

Lời giải:

Chọn A.

Câu 4: Tìm họ nguyên hàm của hàm số sau I = ∫sin³x.cos⁵xdx

Lời giải:

Chọn A.

Câu 5: Tính ∫2tan⁡x dx bằng

Lời giải:

Ta có:

Chọn A.

Câu 6: Tìm nguyên hàm:

Lời giải:

Ta có: 2sin²x - 3sin2x + 2 = 2sin²x - 6.sinx.cosx + 2(sin²x + cos²x)

= 4sin²x – 6sinx.cosx + 2cos²x = 2(2sin²x – 3sinx.cosx + cos²x)

Chọn A.

Câu 7: Tìm nguyên hàm

Lời giải:

Chọn C.

Câu 8: Tìm họ nguyên hàm của hàm số sau

Lời giải:

Ta có: (sinx + 2cosx)³ = cos³x.(tanx + 2)³ nên:

Chọn B.

Câu 9: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

Lời giải:

Chọn A.

Câu 10: Tìm nguyên hàm của hàm số sau: ∫(1 + cot²2x)e^cot2xdx

Lời giải:

Chọn B.

Câu 11: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx.cos2x.dx

Lời giải:

Chọn A.

Câu 12: Tính 

Lời giải:

Ta có:

Đặt t = tanx

Câu 13: Tính 

Lời giải:

Chọn B.

Câu 14: Tính 

Lời giải:

Chọn C.

Xem thêm các dạng bài tập toán hay khác:

30 Bài tập về Cách tìm nguyên hàm của hàm số mũ, hàm số logarit (2024) cực hay, có đáp án

40 Bài tập Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số (2024) cực hay

40 Bài tập Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần (2024) cực hay, có đáp án

30 Bài tập Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp đổi biến số (2024) cực hay, có đáp án

40 Bài tập Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần (2024) cực hay

30 Bài tập Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số (2024) cực hay, có đáp án

40 Bài tập Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số (2024) cực hay, có đáp án