40 Bài tập Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần (2024) cực hay, có đáp án

Bài viết dưới đây giới thiệu tới bạn đọc cách tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần với phương pháp giải chi tiết đồng thời kèm theo ví dụ minh họa và các bài tập chọn lọc có đáp sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần.

Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp

nguyên hàm từng phần 

1. Phương pháp giải

a. Định lí

Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì ∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx. Viết gọn: ∫udv = uv - ∫vdu.

b. Cách đặt

Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính I = ∫P(x).Q(x)dx

Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay

* Thông thường nên chú ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”

Cho I = ∫f(x).g(x)dx trong đó f(x) là đa thức và g(x) là biểu thức lượng giác.

Ta đặt u = f(x) và v’ = g(x).

Sau đó áp dụng công thức lấy nguyên hàm từng phần.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của hàm số sau: ∫(1 - x)cosxdx

A. (1 + x)cosx - sinx + C.

B. (1 - x)sinx - cosx + C.

C. (1 - x)cosx + sinx + C.

D. (1 - x)cosx - cosx + C.

Lời giải

Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay

Chọn B.

Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của hàm số: y = 2(x - 2).sin2x

Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay

Lời giải

Ta có: 2(x - 2).sin2x = (x - 2).(1 - cos2x) vì (cos2x = 1- 2sin2x)

Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay

Chọn A.

Ví dụ 3. Tính I = ∫(2x - 2).sinx.cosxdx

Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay

Lời giải

Ta có: (2x - 2).sinx.cosx = (x - 1).2sinx.cosx = (x - 1).sin2x

⇒ I = ∫(2x - 2).sinx.cosxdx = ∫(x - 1)sin2xdx

Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay

Chọn D.

Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau

Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay

A. -x.cotx + ln|sinx| + C.

B. x.cotx + ln|sinx| + C.

C. x.cosx + ln|sinx| + C.

D. x.cotx - ln|sinx| + C.

Lời giải

Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay

Chọn A.

Ví dụ 5. Tính ∫xsin2xdx.

Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay

Lời giải

Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay

Chọn C.

Ví dụ 6. Tính ∫cos√x dx.

Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay

Lời giải

Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay

Chọn B.

Ví dụ 7. Tính I = ∫(1 + sinx + sin2x + sin3x + ...)dx.

Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay

Lời giải

Ta có: 1 + sinx + sin2x + sin3x + ... là tổng của cấp số nhân với un = sinnx

Vì |sinx| ≤ 1 nên áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân có công bội q = sinx < 1 ta được:

Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay

Chọn D.

Ví dụ 8. Tính I = ∫(x2 - 100)sinxdx

A. I = -(x2 - 100).sinx + 2xsinx - 2cosx + C.

B. I = (x2 - 100).cosx - 2xsinx + cosx + C.

C. I = -(x2 - 100).cosx + 2xsinx + 2cosx + C.

D. Tất cả sai.

Lời giải

Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay

Chọn C.

Ví dụ 9. Tính I = ∫x.sinx.cos2xdx

Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay

Lời giải

Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay

Chọn C.

3. Bài tập vận dụng (có đáp án)

Câu 1: Tính nguyên hàm của hàm số: f(x) = (x + 1).sinx

A. F(x) = (x + 1)cosx + sinx + c.

B. F(x) = -(x + 1)cosx + sinx + c.

C. F(x) = -(x + 1)cosx - sinx + c.

D. F(x) = -(x + 1)cosx - sinx + c.

Lời giải:

Ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay

Chọn B.

Câu 2: Tìm nguyên hàm của hàm số: y = (x + 3).(sin2x - cos2x)

Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay

Lời giải:

Ta có: (x + 3).(sin2x – cos2x) = (x + 3).(-cos2x) vì (cos2x = cos2x - sin2x)

Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay

Chọn A.

Câu 3: Tính:

Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay

A. (x + 1).cosx + 2sin2x + C.

B. 2(x + 1).sinx + 2cosx + C.

C. (x + 1).cosx + 2cosx + C.

D. -(x + 1).cosx + 2sinx + C.

Lời giải:

Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay

Chọn D.

Câu 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay

A. (2x + 1).tanx + 2.ln|cosx| + C.

B. (2x + 1).cotx + 2.ln|cosx| + C.

C. (2x + 1).sinx + 2.ln|sinx| + C.

D. Đáp án khác.

Lời giải:

Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay

Chọn A.

Câu 5: Tính Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay

Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay

Lời giải:

Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay

Chọn A.

Câu 6: Gọi hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) = xcos3x, biết F(0) = 1. Vậy F(x) là:

Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay

Lời giải:

Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay

Chọn D.

Câu 7: Nguyên hàm của hàm số Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay bằng:

Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay

Lời giải:

Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay

Chọn B.

Câu 8: Tìm Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay

Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay

Lời giải:

Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay

Chọn C.

Câu 9: Tính Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay. Chọn kết quả đúng.

Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay

Lời giải:

Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay

Chọn A.

Xem thêm các dạng bài tập toán hay khác:

30 Bài tập về Cách tìm nguyên hàm của hàm số mũ, hàm số logarit (2024) cực hay, có đáp án

40 Bài tập Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số (2024) cực hay

30 Bài tập Tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác bằng phương pháp đổi biến số (2024) cực hay, có đáp án

30 Bài tập Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp đổi biến số (2024) cực hay, có đáp án

40 Bài tập Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần (2024) cực hay

30 Bài tập Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số (2024) cực hay, có đáp án

40 Bài tập Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số (2024) cực hay, có đáp án

Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!